Sharp estimates for linear and nonlinear wave equations via the Penrose transform
Author
Negro, GiuseppeEntity
UAM. Departamento de MatemáticasDate
2019-04-11Funded by
Received nancial support from the MINECO project Severo Ochoa, from the ERC projects Hade and Restriction, whose main researchers are Luis Vega and Keith Rogers respectively, and from the LAGA, University of Paris XIII.Subjects
Física matemática - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita cotutelada por la Université Paris 13 y por la Universidad Autónoma de Madrid, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 11-04-2019Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
We apply the Penrose transform, which is a basic tool of relativistic physics, to the
study of sharp estimates for linear and nonlinear wave equations. We disprove a conjecture
of Foschi, regarding extremizers for the Strichartz inequality with data in the Sobolev space
9H
1{2 9H 1{2pRdq, for even d ¥ 2. On the other hand, we provide evidence to support the
conjecture in odd dimensions and re ne his sharp inequality in R1��3, adding a term proportional
to the distance of the initial data from the set of extremizers. Using this, we provide an asymptotic
formula for the Strichartz norm of small solutions to the cubic wave equation in Minkowski
space. The leading coe cient is given by Foschi's sharp constant. We calculate the constant in
the second term, whose absolute value and sign changes depending on whether the equation is focusing or defocusing. Aplicamos la transformada de Penrose, una herramienta b asica de la f sica relativista,
a unas estimaciones optimas para ecuaciones de ondas lineales y no lineales. Invalidamos una
conjetura de Foschi, sobre extremizadores para la estimaci on de Strichartz con datos en el espacio
de Sobolev 9H 1{2 9H 1{2pRdq, para d ¥ 2 par. Por otro lado, vamos a dar indicios en favor
de su conjetura en dimension impar, as como una versi on re nada de su desigualdad optima
en R13, a~nadiendo un t ermino proporcional a la distancia de los datos iniciales del conjunto
de puntos extremales. Utilizando este resultado, conseguimos una f ormula asint otica para la
norma de Strichartz de soluciones peque~nas de la ecuaci on de ondas c ubica en el espacio-tiempo
de Minkowski. El coe ciente principal coincide con la constante optima de Foschi. Calculamos
expl citamente el coe ciente del otro t ermino, cuyo m odulo y signo cambian dependiendo de si estamos en el caso focusing o defocusing.
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