Minimal models for finite particles in fluctuating hydrodynamics

Abstract

This thesis is devoted to the development of efficient numerical solvers for fluctuating hydrodynamics, in particular, for flows with immersed particles. In the first part of the thesis we develop numerical solvers able to work in a broad number of flow regimes with a high computational performance. To derive thermodynamically consistent set of equations in the continuum and discrete settings we have made use of the augmented Langevin formalism. This formalism predicts the form of the stochastic and thermal drift terms which should be included to satisfy the fluctuation dissipation balance. In this work the dynamic of the fluid is described by the fluctuating Navier-Stokes equations which we discretize with a finite volume method in a staggered grid. We found the staggered grid far superior to collocated grids in ensuring numerical stability for the solvers. Several numerical solvers have been developed to simulate both compressible and incompressible flows, in some cases allowing to use very large time steps thanks to the use of semi-implicit discretizations. The fluid solvers have been extended to solve the dynamics of solute particles. We have developed minimal resolution particle models based on the immersed boundary method. The fluid-particle coupling is based on a no-slip constraint which allows to capture the hydrodynamic forces from the Brownian limit to turbulence and even fast oscillating acoustic flows. All the solvers have been implemented in CUDA to run efficiently on graphical processing units (GPUs) and made available under a free software licence. In the second part of the thesis we have applied our solvers to some interesting non-trivial problems. A common characteristic of all the problems considered is the high disparity of time scales involved; only by using efficient solvers and minimal models like the ones we derived in the first part of the thesis it is possible to tackle these problems. We have studied giant concentration fluctuations whose characteristic times spans over more than 6 orders of magnitude, proving that approximate Galerkin theories though very useful present discrepancies with experimental results of up to a 50%. Acoustic forces have also been studied, showing a good agreement between numerical results and the Gor’kov predictions. More interesting, we have found that the spatial distribution for a particle immersed in an acoustic potential is given by the Gibbs-Boltzmann distributions, a result that can be explained by the time scale separation between the sound modes and the particle diffusion. As a last application we studied the polymer tumbling under shear flow. This problem is better approached by specialized solvers for the infinite Schmidt number limit, which have also been derived. We found that the dynamic of the polymer in shear flow can be described by three characteristic times related with the flow strength and the polymer interactions.

Esta tesis está dedicada al desarrollo de eficientes métodos numéricos para hidrodinámica fluctuante, en particular, para flujos con partículas inmersas. En la primera parte de la tesis hemos derivado métodos numéricos capaces de trabajar en un amplio rango de regímenes con una gran rendimiento computacional. Para derivar sistemas de ecuaciones termodinámicamente consistentes tanto en la formulación continua como discreta hemos usado el formalismo de Langevin generalizado. Este formalismo predice los términos estocásticos y de drift térmico necesarios para satisfacer el balance de fluctuación disipación. En esta tesis el fluido se describe por medio de las ecuaciones de Navier-Stokes fluctuantes, las cuales son discretizadas por un método de volúmenes finitos con mallas desplazadas. Hemos encontrado que el uso de mallados desplazados es muy superior comparado con mallados colocados para garantizar la estabilidad numérica de nuestros algoritmos. Varios métodos numéricos han sido desarrollados para simular tanto flujos compresibles como incompresibles, en algunos casos permitiendo el uso de pasos de tiempo muy largos gracias al uso de técnicas de discretización semi-implícitas. Los algoritmos para las ecuaciones de Navier-Stokes han sido ampliados para poder resolver la dinámica de partículas de soluto y hemos desarrollados modelos de resolución mínima basados en el método de fronteras inmersas (immersed boundary method). El acoplo partícula fluido se basa en la condición de no deslizamiento, la cual permite capturar las fuerzas hidrodinámicas desde el límite Browniano hasta turbulencia e incluso en campos acústicos. Todos nuestros algoritmos han sido implementados en CUDA para poder ser ejecutados eficientemente en tarjetas gráficas (GPU) y han sido liberados bajo una licencia de software libre. En la segunda parte de la tesis hemos aplicado nuestros algoritmos para estudiar algunos porblemas interesantes no triviales. Una característica común de todos los problemas estudiados es la gran disparidad las escalas de tiempo involucradas; sólo por medio del uso de modelos minimalistas y métodos numéricos eficientes como los que derivamos en la primera parte de la tesis es posible abordar estos problemas. Hemos estudiado fluctuaciones gigantes de concentración, cuyos tiempos característicos recorren más de 6 ordenes de magnitud, demostrando que las teorías aproximadas de tipo Galerkin aunque increíblemente útiles pueden mostrar discrepancias con los resultados experimentales de hasta un 50%. También han sido estudiadas las fuerzas acústicas, obteniéndose un buen acuerdo entro los resultados numéricos y los predichos por la teoría de Gor’kov. Más interesante, hemos observado que la distribución espacial de una partícula en un campo acústico viene dada por la distribución de Gibbs-Boltzmann, lo cual se puede explicar por la gran diferencia entre los tiempos característicos de los modos acústicos y del movimiento difusivo de la partícula. Como última aplicación hemos estudiado el movimiento rotatorio de un polímero bajo un flujo de cizalla. Este problema se puede abordar mejor con algoritmos especializados para trabajar en el límite de número de Schmidt infinito, los cuales también hemos derivado. Se ha encontrado que es posible describir la dinámica de un polímero en un flujo de cizalla por medio de tres tiempos característicos relacionados con la intensidad del flujo y las interacciones constitutivas del polímero.