Non-commutative symplectic NQ-geometry and Courant algebroids
Author
Fernández Álvarez, DavidAdvisor
Álvarez Cónsul, LuisEntity
UAM. Departamento de Matemáticas; Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Date
2016-01-26Subjects
Álgebras no conmutativas - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis Doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 26 de enero de 2016Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
En esta tesis proponemos una noción de algebroide de Courant no conmutativo
que satisface el principio de Kontsevich–Rosenberg, según el cual una estructura
sobre un álgebra asociativa tiene significado geométrico si induce las estructuras
geométricas estándar sobre sus espacios de representaciones. Reemplazando los
campos vectoriales sobre variedades por las derivaciones dobles de Crawley-Boevey
sobre álgebras asociativas, este principio ha sido aplicado con éxito por Crawley-
Boevey, Etingof y Ginzburg para estructuras simplécticas, y por Van den Bergh
para estructuras de Poisson.
Los algebroides de Courant, introducidos por Liu, Weinstein y Xu, generalizan
la noción de doble de Drinfeld a bialgebroides de Lie, y axiomatizan las propiedades
del corchete de Courant definido por Courant yWeinstein para dotar de un contexto
geométrico a la teoría de Dirac de sistemas mecánicos con ligaduras. Un enfoque
directo para definir algebroides de Courant no es posible porque las identidades
de Cartan no se conocen en el cálculo de formas diferenciales no conmutativas y
derivaciones dobles, así que en esta tesis seguimos un método indirecto.
Las NQ-variedades simplécticas son variedades graduadas no negativamente (la
graduación se llama peso), dotadas con una estructura simpléctica graduada y un
campo vectorial homológico Q de peso 1. Estas estructuras codifican estructuras
de algebroide de Lie de orden superior en el formalismo de Batalin–Vilkovisky
en Física, donde los pesos tienen en cuenta el número fantasma. Siguiendo
ideas de Ševera, Roytenberg probó que las NQ-variedades simplécticas de pesos
1 y 2 están en correspondencia 1-1 con variedades de Poisson y algebroides de
Courant, respectivamente. Nuestro método para construir algebroides de Courant
no conmutativos consiste en adaptar este resultado a una versión graduada del
formalismo de Crawley-Boevey, Etingof, Ginzburg.
Empezamos generalizando a álgebras asociativas graduadas las teorías de
formas bi-simplécticas y corchetes dobles de Poisson de Crawley-Boevey–Etingof–
Ginzburg y Van den Bergh, respectivamente. En este contexto, probamos
teoremas de Darboux adecuados para formas bi-simplécticas, definimos NQálgebras
bi-simplécticas, y probamos una correspondencia 1-1 entre NQ-álgebras
bi-simplécticas apropiadas de peso 1 y álgebras de Poisson dobles de Van den
Bergh. Entonces usamos algebroides de Lie y de Atiyah adecuados para describir
álgebras N-graduadas de peso 2 cuyas álgebras graduadas subyacentes son álgebras
de caminos de carcajs graduados, en términos de emparejamientos de Van den
Bergh sobre bimódulos proyectivos. Usando corchetes derivados no conmutativos,
calculamos la estructura algebraica que corresponde a NQ-álgebras bi-simplécticas
de este tipo. Por analogía con la correspondencia de Roytenberg para álgebras
conmutativas, llamaremos a esta estructura un álgebra de Courant–Dorfman doble. We propose a notion of non-commutative Courant algebroid that satisfies the
Kontsevich–Rosenberg principle, whereby a structure on an associative algebra has
geometric meaning if it induces standard geometric structures on its representation
spaces. Replacing vector fields on varieties by Crawley-Boevey’s double derivations
on associative algebras, this principle has been successfully applied by Crawley-
Boevey, Etingof and Ginzburg to symplectic structures and by Van den Bergh to
Poisson structures.
Courant algebroids, introduced in differential geometry by Liu, Weinstein
and Xu, generalize the notion of the Drinfeld double to Lie bialgebroids. They
axiomatize the properties of the Courant bracket, introduced by Courant and
Weinstein to provide a geometric setting for Dirac’s theory of constrained
mechanical systems. A direct approach to define non-commutative Courant
algebroids fails, because the Cartan identities are unknown in the calculus of noncommutative
differential forms and double derivations, so in this thesis we follow
an indirect method.
Symplectic NQ-manifolds are non-negatively graded manifolds (the grading
is called weight), endowed with a graded symplectic structure and a symplectic
homological vector field Q of weight 1. They encode higher Lie algebroid structures
in the Batalin–Vilkovisky formalism in physics, where the weight keeps track of the
ghost number. Following ideas of Ševera, Roytenberg proved that symplectic NQmanifolds
of weights 1 and 2 are in 1-1 correspondence with Poisson manifolds
and Courant algebroids, respectively. Our method to construct non-commutative
Courant algebroids is to adapt this result to a graded version of the formalism of
Crawley-Boevey, Etingof and Ginzburg.
We start generalizing to graded associative algebras the theories of bi-symplectic
forms and double Poisson brackets of Crawley-Boevey–Etingof–Ginzburg and Van
den Bergh, respectively. In this framework, we prove suitable Darboux theorems
for graded bi-symplectic forms, define bi-symplectic NQ-algebras, and prove a 1-1
correspondence between appropriate bi-symplectic NQ-algebras of weight 1 and
Van den Berg’s double Poisson algebras. We then use suitable non-commutative
Lie and Atiyah algebroids to describe bi-symplectic N-graded algebras of weight
2 whose underlying graded algebras are graded-quiver path algebras, in terms
Van den Berg’s pairings on projective bimodules. Using non-commutative derived
brackets, we calculate the algebraic structure that corresponds to symplectic NQalgebras
of this type. By the analogy with Roytenberg’s correspondence for
commutative algebras, we call this structure a double Courant–Dorfman algebra.
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