Aproximaciones uniformes para distribuciones de probabilidad de sumas de variables aleatorias positivas con colas pesadas

Abstract

En nuestro entorno encontramos constantemente fenómenos que pueden ser descritos utilizando modelos probabilísticos. Este conocimiento sobre las características de la evolución del sistema nos permite predecir futuras situaciones y progresar en las distintas disciplinas donde tienen lugar estos eventos modelizados. El inconveniente se presenta cuando, a pesar de conocer la distribución que rige el suceso, sus funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulada no tienen una forma explícita cerrada que sea conocida. Surge de aquí la necesidad de encontrar aproximaciones con fórmula analítica cerrada a sumas de variables aleatorias positivas con colas pesadas, objetivo del presente trabajo. Cuando el número de variables de la suma (N) tiende a infinito, el teorema del límite central nos indica que la distribución de la suma de variables aleatorias independientes con varianza finita se aproxima a una Gaussiana. Por ello, cuando N es suficientemente grande podemos utilizar esta distribución para modelizar la suma de variables aleatorias. Sin embargo, nos encontramos frente a un problema cuando N no cumple esta propiedad. Para solucionar este problema y encontrar una aproximación con alta precisión se proponen las series de Gram-Charlier y Edgeworth, basadas en los momentos de la distribución. Inicialmente se estudiará el modelo clásico de estas series, se ampliará con su correspondiente generalización y finalmente se trabajará sobre modificaciones en las expresiones de ambas series. Para valorar la calidad de las estimaciones propuestas se realizarán experimentos sobre sumas de variables lognormales. Aparte de su interés práctico en campos como las finanzas y las telecomunicaciones, la ventaja de analizar este tipo de variables aleatorias es que, si bien presentan colas pesadas, todos sus momentos son finitos. En la realización de estas pruebas se empleará código desarrollado en MATLAB, debido a su adecuación para realizar análisis matemático. Como conclusión se extrae que las series generalizadas y la modificación propuesta aproximan satisfactoriamente a sumas de variables cuando las colas no son excesivamente pesadas o cuando N es grande. Además, en todos los casos, las aproximaciones dadas por la truncación de la serie de Edgeworth son mejores que las correspondientes a la serie de Gram Charlier.

In the surrounding environment they are constantly found phenomena that can be described using probabilistic models. This knowledge about the system evolution characteristics enable to predict future situations and evolve in different disciplines where this modelled events take place. The problem arises when, despite knowing the distribution governing the event, its probability density functions and cumulative distribution does not present a known explicit closed form. Thus, the need arises to find approaches with analytical closed formula to sums of positive heavy-tailed random variables, being the aim of this work. When the number of variables of the sum (N) tends to infinity, the central limit theorem indicates that the distribution of the sum of independent random variables with finite variance approaches a Gaussian distribution. Therefore, when N is large enough, such a distribution can be used to model the sum of random variables. However, an issue is encountered when N does not satisfy this property. In order to solve this problem and find out a high precision approximation, Gram-Charlier and Edgeworth expansions, based on the moments of the distribution, are proposed. Initially, the classical model of this series will be studied. This will be extended with the corresponding generalization and finally changes in the expressions of both series will be analysed. To assess the quality of the proposed estimations, experiments will be performed on sums of log-normal variables. In addition to its application interest in fields as finance and telecommunications, the advantage of analysing this kind of random variables is that, even they present heavy tails, all their moments are finite. For the accomplishment of these trials, a code developed in MATLAB will be used due to its suitability for performing mathematical analysis. As a conclusion, it is drawn that the generalized series and the proposed modification successfully approximate to sums of variables when the tails are not excessively heavy or when N is big enough. Furthermore, in every case, the approximations given by the truncation of Edgeworth expansion exhibit an improvement over the results obtained by the Gram-Charlier expansion.